Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）P1（，4），P2（， ），P3（，﹣）.（3）四邊形CDBF的面積最大=，E（2，1）

【解析】試題分析：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n，然后解方程組即可；（2）先確定出拋物線的對稱軸x=，然后△PCD是以CD為腰的等腰三角形分情況討論即可，（3）求出點B的坐標（4，0），然后求出直線BC的解析式，過點C作CM⊥EF于M，設E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），然后用a表示出四邊形CDBF的面積，利用配方法化為頂點式，利用二次函數的性質可解決問題.

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+mx+n經過A（﹣1，0），C（0，2）．

解得： ，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2 ；

（2）：y=﹣x2+x+2；∴拋物線的對稱軸是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=

∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x軸于H，

∴HP1=HD=2，∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（， ），P3（，﹣）.

（3）當y=0時，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得，解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．

如圖2，過點C作CM⊥EF于M，

設E（a，﹣ a+2），F（a，﹣a2+a+2），

∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=，

∴E（2，1）