Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx-5與x軸相交于A（1，0），B（5，0），與y軸相交于點C，對稱軸與x軸相交于點M．P是拋物線上一個動點（點P、M、C不在同一條直線上），分別過點A、B作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為點D、E，連接MD、ME．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在第一象限內，使S_△PAB=S_△PAC，求點P的坐標；
（3）點P在運動過程中，△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式，可求得a=-1，b=6，從而可求得拋物線的解析式；
（2）設點P的坐標為（a，-a²+6a-5），然后求得直線CP的解析式為y=（6-a）x-5，令y=0，從而可求得直線CP與x軸的交點坐標，最后根據S_△PAB=S_△PAC列出關于a的方程，從而可求得a=4；
（3）當∠MED=90°時，點E，B，M在一條直線上，此種情況不成立，同理當∠MDE=90°時，不成立，當∠DME=90°時，設直線PC與對稱軸交于點N，首先證明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，從而求得點N坐標為（3，2）；其次利用點N、點C坐標，求出直線PC的解析式；最后聯立直線PC與拋物線的解析式，求出點P的坐標．

解答 解：（1）∵將點A、B的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b-5=0}\\{25a+5b-5=0}\end{array}\right.$，解得：a=-1，b=6，
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x-5．
（2）如圖1所示：記PC與x軸的交點為F．

∵令x=0，得y=-5，
∴C（0，-5）．
設直線PC的解析式為y=kx-5，點P的坐標為（a，-a²+6a-5）．
將點P的坐標代入PC的解析式得：ka=-a²+6a-5．
解得：a=0（舍去），k=6-a．
∴直線PC的解析式為y=（6-a）x-5．
令y=0得：（6-a）x-5=0．
解得：x=$\frac{5}{6-a}$．
∴點F的坐標（$\frac{5}{6-a}$，0）．
∵S_△PAB=S_△PAC，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{6-a}$-1）（-a²+6a-5+5）=$\frac{1}{2}×4$×（-a²+6a-5）．
解得：整理得：a²-5a+4=0．
解得：a=1（舍去），a=4．
當a=4時，-a²+6a-5=-16+24-5=3．
∴點P的坐標為（4，3）．
（3）∵拋物線解析式為y=-x²+6x-5，
∴對稱軸是直線x=3．
∴M（3，0）．
①當∠MED=90°時，點E，B，M在一條直線上，此種情況不成立；
②同理：當∠MDE=90°時，不成立；
③當∠DME=90°時，如圖2所示：

設直線PC與對稱軸交于點N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN=∠DMA．
∵∠MDE=45°，∠EDA=90°，
∴∠MDA=135°．
∵∠MED=45°，
∴∠NEM=135°．
∴∠ADM=∠NEM=135°．
在△ADM與△NEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMN=∠DMA}\\{EM=DM}\\{∠ADM=∠NEM=135°}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△NEM（ASA）．
∴MN=MA．
∴MN=MA=2，
∴N（3，2）．
設直線PC解析式為y=kx+b，將點N（3，2），C（0，-5）代入直線的解析式得；$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{3}}\\{b=-5}\end{array}\right.$．
∴直線PC的解析式為y=$\frac{7}{3}$x-5．
將y=$\frac{7}{3}$x-5代入拋物線解析式得：$\frac{7}{3}$x-5=-x²+6x-5，解得：x=0或x=$\frac{11}{3}$，
當x=0時，交點為點C；當x=$\frac{11}{3}$時，y=$\frac{7}{3}$x-5=$\frac{32}{9}$．
∴P（$\frac{11}{3}$，$\frac{32}{9}$）．
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（$\frac{11}{3}$，$\frac{32}{9}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數和二次函數的解析式、等腰直角三角形的性質、全等三角形的性質和判定，證得△ADM≌△NEM（ASA），從而得到點N的坐標是解題的關鍵．