Question

5．如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是線段CA延長線上一點，且AD=AB．點F是線段AB上一點，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DFE，連接EA，EA滿足條件EA⊥AB．
（1）若∠AEF=20°，∠ADE=50°，AC=2，求AB的長度；
（2）求證：AE=AF+BC；
（3）如圖2，點F是線段BA延長線上一點，探究AE、AF、BC之間的數量關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，求得∠1=20°，根據余角的定義得到∠2=∠DEF-∠1=70°，根據三角形的內角和得到∠3=60°，∠4=30°根據三角函數的定義得到cos∠4=$\frac{AC}{AB}$，于是得到結論；
（2）如圖1，過D作DM⊥AE于D，在△DEM中，由余角的定義得到∠2+∠5=90°，由于∠2+∠1=90°，推出∠1=∠5證得△DEM≌△EFA，根據全等三角形的性質得到AF=EM，根據三角形的內角和和余角的定義得到∠3=∠B，推出△DAM≌△ABC，根據全等三角形的性質得到BC=AM即可得到結論；
（3）如圖2，過D作DM⊥AE交AE的延長線于M根據余角的定義和三角形的內角和得到∠2=∠B，證得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性質得到BC=AM，由于EF=DE，∠DEF=90°，推出∠4=∠5，證得△MED≌△AFE，根據全等三角形的性質得到ME=AF，即可得到結論．

解答 解：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，
∵∠1=20°，
∴∠2=∠DEF-∠1=70°，
∵∠EDA+∠2+∠3=180°，
∴∠3=60°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠3+∠EAB+∠A=180°，
∴∠4=30°，
∵∠C=90°，
∴cos∠4=$\frac{AC}{AB}$，
∴AB=$\frac{AC}{cos∠4}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（2）如圖1，過D作DM⊥AE于D，在△DEM中，∠2+∠5=90°，
∵∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠5，
∵DE=FE，
在△DEM與△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠EAF}\\{∠5=∠1}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△EFA，
∴AF=EM，
∵∠4+∠B=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠B，
在△DAM與△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠B}\\{∠DMA=∠C}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△ABC，
∴BC=AM，
∴AE=EM+AM=AF+BC；

（3）如圖2，過D作DM⊥AE交AE的延長線于M，
∵∠C=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，
∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，
在△ADM與△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠C}\\{∠2=∠B}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAC，
∴BC=AM，
∵EF=DE，∠DEF=90°，
∵∠3+∠DEF+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
在△MED與△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠EAF}\\{∠5=∠4}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△MED≌△AFE，
∴ME=AF，
∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，
即AE+AF=BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．