Question

【題目】如圖，對稱軸為直線的拋物線經過點和．

(1)求拋物線解析式；

(2)設點是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形是以為對角線的平行四邊形．

①求平行四邊形的面積與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

②當平行四邊形的面積為24時，請判斷平行四邊形是否為菱形？

③是否存在點，使平行四邊形為正方形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，，②當點E為（4，-4）時，平行四邊形OEAF不是菱形；當點E為（3，-4）時，平行四邊形OEAF是菱形．③不存在這樣的點，使平行四邊形是正方形，理由見解析．

【解析】

（1）將拋物線解析式設成頂點式，然后用待定系數法就可解決問題．

（2）①求出拋物線與x軸的交點坐標，就可得到x的取值范圍，由于△OAE與△AOF全等，因此S=2S△OAE=-6y，然后把y換成x的代數式即可．

②易求出點E的縱坐標y，從而求出點E的坐標，然后算出OE、AE的長，就可判定四邊形OEAF是否為菱形；

③可先求出使四邊形OEAF是菱形時點E的坐標，然后再驗證菱形OEAF是否是正方形．

解：（1）由拋物線的對稱軸是，可設解析式為．

把、兩點坐標代入上式，得

解得：，．

∴拋物線的解析式為：．

（2）①∵點在拋物線上，位于第四象限，

∴，即，表示點到的距離．

∵是的對角線，

∴，

∵，

∴；

∵拋物線與軸的兩個交點是和，

∴自變量的取值范圍是；

∴，（）.

②依題意，當時，即，

解得，；

Ⅰ．當x=4時，，則點E（4，-4）．

過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，

則有OH=4，EH=4，AH=2．

∵EH⊥x軸，

∴OE=，AE=．

∴OE≠AE．

∴平行四邊形OEAF不是菱形．

Ⅱ．當x=3時，，則點E（3，-4）．

過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖3，

則有OH=3，EH=4，AH=3．

∵EH⊥x軸，

∴OE=5，AE=5．

∴OE=AE．

∴平行四邊形OEAF是菱形．

綜上所述；當點E為（4，-4）時，平行四邊形OEAF不是菱形；當點E為（3，-4）時，平行四邊形OEAF是菱形．

③不存在點E，使四邊形OEAF為正方形．

理由如下：

當點E在線段OA的垂直平分線上時，EO=EA，則平行四邊形OEAF是菱形，如圖4，
此時，，，，點E為（3，-4）．

則有OA=6，EF=8．

∵OA≠EF，

∴菱形OEAF不是正方形．

∴不存在點E，使四邊形OEAF為正方形．