Question

【題目】已知，∠ABC=48°，P是∠ABC內一定點，D、E分別是射線BA、BC上的點，當△PDE的周長最小時，∠DPE的度數是__________.

Answer 1

【答案】84°

【解析】試題解析：如圖作點P關于直線AB的對稱點F，作點P關于直線BC的對稱點G，連接FG交AB于D，交BC于E，則△PDE的周長最小．

設∠ABP=∠ABF=x，∠CBP=∠CBG=y，則x+y=48°，

∵BP=BF，

∴∠BPF=∠BFP=（180°-2x）=90°-x．同法可得∠BPG=90°-y，

∴∠FPG=180°-x-y=132°，

∴∠BFP+∠BGP=132°，

∵∠BFG+∠BGF=180°-96°=84°，

∴∠PFG+∠PGF=132°-84°=48°，

∵DF=DP，EP=EG，

∴∠DFP=∠DPF，∠EGP=∠EPG，

∴∠EDP=2∠DFP，∠DEP=2∠EGP，

∴∠PDE+∠PED=96°，

∴∠DPE=180°-96°=84°，

故答案為：84°．