Question

【題目】如圖，矩形中，，，點是邊上一定點，且．

(1)當時，上存在點，使與相似，求的長度．

(2)對于每一個確定的的值上存在幾個點使得與相似?

Answer 1

【答案】(1)或3；(2)當且時，有3個；當時，有2個；當時，有2個；當時，有1個．

【解析】

（1）分△AEF∽△BFC和△AEF∽△BCF兩種情形，分別構建方程即可解決問題；

（2）根據題意畫出圖形，交點個數分類討論即可解決問題；

解：（1）當∠AEF=∠BFC時，
要使△AEF∽△BFC，需，即，

解得AF=1或3；
當∠AEF=∠BCF時，
要使△AEF∽△BCF，需，即，

解得AF=1；
綜上所述AF=1或3．

（2）如圖，延長DA，作點E關于AB的對稱點E′，連結CE′，交AB于點F1；
連結CE，以CE為直徑作圓交AB于點F2、F3．

當m=4時，由已知條件可得DE=3，則CE=5，

即圖中圓的直徑為5，

可得此時圖中所作圓的圓心到AB的距離為2.5，等于所作圓的半徑，F2和F3重合，

即當m=4時，符合條件的F有2個，

當m＞4時，圖中所作圓和AB相離，此時F2和F3不存在，即此時符合條件的F只有1個，

當1＜m＜4且m≠3時，由所作圖形可知，符合條件的F有3個，

綜上所述：

當1＜m＜4且m≠3時，有3個；
當m=3時，有2個；
當m=4時，有2個；
當m＞4時，有1個．