Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13，AB=5，O是AB上的點，以O為圓心，OB為半徑作⊙O．
（1）當OB=2.5時，⊙O交AC于點D，求CD的長；
（2）當OB=2.4時，AC與⊙O的位置關系如何？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先根據勾股定理求出BC的長，再根據切割線定理求出CD的長；
（2）作出輔助線OM，根據△AOM∽△ACB，利用相似三角形的性質求出OM的長，根據切線的判定定理即可證明．

解答：解：（1）在Rt△ABC中；
∵BC²=AC²-AB²=13²-5²=144，
∴BC=12（1分）；
又∵∠B=90°，OB是半徑，AB=5，OB=2.5，
∴BC是⊙O的切線，點A在⊙O上，
∴根據切割線定理有BC²=CD•AC，
即有CD=

BC2

AC

=

144

13

，（3分）
故CD=

144

13

；

（2）當OB=2.4時，AC是⊙O的切線．（4分），
證明如下：過O作OM⊥AC于M，
則△AOM∽△ACB，
∴

OM

CB

=

AO

AC

，OM=

CB•AO

AC

=

12×2.6

13

=2.4，（6分）
即O到AC的距離等于⊙O的半徑，
∴當⊙O的半徑為2.4時，AC是⊙O的切線．（7分）

點評：此題綜合考查了勾股定理、切線的判定定理等內容，是一道基礎性題目．