Question

【題目】如圖，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H．
（1）求證：CF=CH；
（2）△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°，證明：四邊形ACDM是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ACB和△ECD中，

∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB，

∴∠1=∠2；

又∵AC=CE=CB=CD，

∴∠A=∠D=45°；

在△CFA和△CHD中，

∵ ，

∴△CFA≌△CHD（AAS），

∴CF=CH

（2）證明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，

∴∠1=45°，∠2=45°．

又∵∠E=∠B=45°，

∴∠1=∠E，∠2=∠B，

∴AC∥MD，CD∥AM，

∴四邊形ACDM是平行四邊形，

又∵AC=CD，

∴平行四邊形ACDM是菱形

【解析】（1）先根據直角三角形的性質得出∠1=∠2，再由AAS定理得出△CFA≌△CHD，進而可得出結論；（2）根據∠BCE=45°得出∠1=∠2=45°．根據∠E=∠B=45°得出∠1=∠E，∠2=∠B，故可得出四邊形ACDM是平行四邊形，再由AC=CD即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了菱形的判定方法和旋轉的性質的相關知識點，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．