Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，M，N分別是邊AB，BC的中點，MP⊥AB交邊CD于點P，連接NM，NP．

（1）若∠B=60°，這時點P與點C重合，則∠NMP= 度
（2）求證：NM=NP
（3）當△NPC為等腰三角形時，求∠B的度數

Answer 1

【答案】
（1）30
（2）

證明：延長MN交DC的延長線于點E，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥DC，

∴∠BMN=∠E，

∵點N是線段BC的中點，∴BN=CN，

在△MNB和△ENC中，

∴△MNB≌△ENC，

∴MN=EN，

即點N是線段ME的中點，

∵MP⊥AB交邊CD于點P，

∴MP⊥DE，

∴∠MPE=90°，

∴PN=MN=ME

（3）

解：如圖2

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，

又M，N分別是邊AB，BC的中點，

∴MB=NB，

∴∠BMN=∠BNM，

由（2）知：△MNB≌△ENC，

∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，

又∵PN=MN=NE，

∴∠NPE=∠E，

設∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，

則∠NCP=2x°，∠NPC=x°，

①若PN=PC，則∠PNC=∠NCP=2x°，

在△PNC中，2x+2x+x=180，

解得：x=36，

∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，

②若PC=NC，則∠PNC=∠NPC=x°，

在△PNC中，2x+x+x=180，

解得：x=45，

∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．

【解析】（1）根據直角三角形的中線等于斜邊上的一半，即可得解；
（2）延長MN交DC的延長線于點E，證明△MNB≌△ENC，進而得解；
（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC兩種情況進行討論即可．
此題考查了直角三角形中線，全等三角形判定與性質.