Question

如圖①，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，邊長為5的正三角形OAB的OA邊在x軸的正半軸上．點C、D同時從點O出發，點C以1單位長/秒的速度向點A運動，點D為2個單位長/秒的速度沿折線OBA運動．設運動時間為t秒，0＜t＜5．
（1）當0＜t＜

5

2

時，證明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）以點C為中心，將CD所在的直線順時針旋轉60°交AB邊于點E，若以O、C、D、E為頂點的四邊形是梯形，求點E的坐標．

Answer 1

（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，

OG

OB

=cos∠BOA=cos60°=

1

2

，
而

OC

OD

=

1

2

，
∴

OC

OD

=

OG

OB

．
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA．

（2）當0＜t＜

5

2

時，
在Rt△OCD中，
CD=OD×sin60°=2t×

3

2

=

3

t．
∴S=

1

2

×OC×CD=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t2；
當

5

2

≤t＜5時（如圖2）
過點D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×

3

2

=

3

（5-t）．
S=

1

2

×OC×HD=

1

2

×t×

3

（5-t）=

5 3

2

t-

3

2

t²．

（3）當DE∥OC時，△DBE是等邊三角形．（如圖3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=

1

2

AC=

5-t

2

．
∴BE+AE=（5-2t）+

5-t

2

=5，
∴t=1．
因此AE=

5-t

2

=2．
過點E作EM⊥OA于M．
則EM=AE×sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AE×cos60°=2×

1

2

=1，OM=OA-AM=4．
∴點E的坐標為（4，

3

）．
當CD∥OE時（如圖4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等邊三角形，
∴DE=BD-

1

2

AB=

5

2

．
∴2t-5=

5

2

．
∴t=

15

4

．
因此AE=

5-t

2

=

5

8

．
∴E的縱坐標為

5

8

×

3

2

=

5

16

3

，
橫坐標為5-

5

8

×

1

2

=

75

16

，
∴點E的坐標為（

75

16

，

5

16

3

）．
綜上所述，點E的坐標為（4，

3

）或（

75

16

，

5

16

3

）．