Question

如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）求cos∠E的值．

Answer 1

【考點】切線的判定；勾股定理．

【專題】證明題．

【分析】（1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；

（2）根據∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問題轉化為求cos∠CBG，進而轉化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題．

【解答】（1）證明：如圖，

方法1：連接OD、CD．

∵BC是直徑，

∴CD⊥AB．

∵AC=BC．

∴D是AB的中點．

∵O為CB的中點，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF．

∴EF是O的切線．

方法2：∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC，

∵OB=OD，

∴∠DBO=∠BDO，

∵∠A+∠ADF=90°

∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．

即∠EDO=90°，

∴OD⊥ED

∴EF是O的切線．

（2）解：連BG．

∵BC是直徑，

∴∠BDC=90°．

∴CD==8．

∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，

∴BG==．

∴CG==．

∵BG⊥AC，DF⊥AC，

∴BG∥EF．

∴∠E=∠CBG，

∴cos∠E=cos∠CBG==．

【點評】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．