Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，AB=4，過圓心O的直線垂直AB于點D，交⊙O于點C和點E，連接AC、BC、OB，cos∠ACB= ，延長OE到點F，使EF=2OE．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：BF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連OA，如圖，

∵直徑CE⊥AB，

∴AD=BD=2，弧AE=弧BE，

∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，

又∵∠AOB=2∠ACB，

∴∠BOE=∠ACB，

而cos∠ACB= ，

∴cos∠BOD= ，

在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，

∵OD2+BD2=OB2，

∴x2+22=（3x）2，解得x= ，

∴OB=3x= ，

即⊙O的半徑為 ；

（2）

證明：∵FE=2OE，

∴OF=3OE= ，

∴ = ，

而 = ，

∴ = ，

而∠BOF=∠DOB，

∴△OBF∽△ODB，

∴∠OBF=∠ODB=90°，

∵OB是半徑，

∴BF是⊙O的切線．

【解析】（1）連OA，由直徑CE⊥AB，根據垂徑定理可得到AD=BD=2，弧AE=弧BE，利用圓周角定理得到∠ACE=∠BCE，∠AOB=2∠ACB，且∠AOE=∠BOE，則∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB= ，在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，利用勾股定理可計算出x= ，則OB=3x= ；（2）由于FE=2OE，則OF=3OE= ，則 = ，而 = ，于是得到 = ，根據相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根據相似三角形的性質有∠OBF=∠ODB=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論．