Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，動點P從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D（點P不與點A、B重合），作∠DPQ=60°，邊PQ交射線DC于點Q．設點P的運動時間為t秒．

（1）用含t的代數式表示線段DC的長；

（2）當點Q與點C重合時，求t的值；

（3）設△PDQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

（4）當線段PQ的垂直平分線經過△ABC一邊中點時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）CD= 2﹣t（0＜t＜2）；（2）1；（3）見解析；（4）t的值為秒或秒或秒．

【解析】

（1）先求出AC，用三角函數求出AD，即可得出結論；

（2）利用AD+DQ=AC，即可得出結論；

（3）分兩種情況，利用三角形的面積公式和面積差即可得出結論；

（4）分三種情況，利用銳角三角函數，即可得出結論．

（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，

∴AC=2，

∵PD⊥AC，

∴∠ADP=∠CDP=90°，

在Rt△ADP中，AP=2t，

∴DP=t，AD=APcosA=2t×=t，

∴CD=AC﹣AD=2﹣t（0＜t＜2）；

（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC=60°，

∴∠PQD=30°=∠A，

∴PA=PQ，

∵PD⊥AC，

∴AD=DQ，

∵點Q和點C重合，

∴AD+DQ=AC，

∴2×t=2，

∴t=1；

（3）當0＜t≤1時，S=S△PDQ=DQ×DP=×t×t=t2，

當1＜t＜2時，如圖2，

CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2t﹣2=2（t﹣1），

在Rt△CEQ中，∠CQE=30°，

∴CE=CQtan∠CQE=2（t﹣1）×=2（t﹣1），

∴S=S△PDQ﹣S△ECQ=×t×t﹣×2（t﹣1）×2（t﹣1）=﹣t2+4t﹣2，

∴S=；

（4）當PQ的垂直平分線過AB的中點F時，如圖3，

∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2，

∵∠A=∠AQP=30°，

∴∠FPG=60°，

∴∠PFG=30°，

∴PF=2PG=2t，

∴AP+PF=2t+2t=2，

∴t=；

當PQ的垂直平分線過AC的中點M時，如圖4，

∴∠QMN=90°，AN=AC=，QM=PQ=AP=t，

在Rt△NMQ中，NQ=，

∵AN+NQ=AQ，

∴+=2t，

∴t=，

當PQ的垂直平分線過BC的中點時，如圖5，

∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BFH=30°=∠H，

∴BH=BF=1，

在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，

∴AH=AP+PH=AB+BH，

∴2t+2t=5，

∴t=，

即：當線段PQ的垂直平分線經過△ABC一邊中點時，t的值為秒或秒或秒．