Question

【題目】（1）操作發現：如圖①，小明畫了一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外側分別以AB，AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點M，N，G，連接GM，GN．小明發現了：線段GM與GN的數量關系是__________；位置關系是__________．

（2）類比思考：

如圖②，小明在此基礎上進行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其它條件不變，小明發現的上述結論還成立嗎？請說明理由．

（3）深入研究：

如圖③，小明在（2）的基礎上，又作了進一步的探究．向△ABC的內側分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明．

Answer 1

【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案見解析

【解析】（1）利用SAS判斷出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，進而判斷出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位線定理即可得出結論；

（2）同（1）的方法即可得出結論；

（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結論．

（1）連接BE，CD相交于H，如圖1，

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°

∴∠CAD=∠BAE，

∴△ACD≌△AEB（SAS），

∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，

∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，

∴∠BHD=90°，

∴CD⊥BE，

∵點M，G分別是BD，BC的中點，

∴MG∥CD且MG=CD，

同理：NG∥BE且NG=BE，

∴MG=NG，MG⊥NG，

（2）連接CD，BE，相交于H，如圖2，

同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；

（3）連接EB，DC并延長相交于點H，如圖3.

同（1）的方法得，MG=NG，

同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，

∴∠AEB=∠ACD，

∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，

∴∠DHE=90°，

同（1）的方法得，MG⊥NG．

∴△GMN是等腰直角三角形.