Question

【題目】如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G,OC到點E，使OG=2OD,OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG、DE．
n
（1）求證：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉角(0°< <360°)得到正方形OE’F’G’，如圖2．
①在旋轉過程中，當∠OAG’是直角時，求 的度數；
②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程中，求AF’長的最大值和此時 的度數，直接寫出結果不必說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1,延長ED交AG于點H,

∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠GAO+∠DEO=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

（2）解：①在旋轉過程中,∠OAG′成為直角有兩種情況：

(Ⅰ)α由0°增大到90°過程中,當∠OAG′=90°時，

∵OA=OD= OG= OG′，

∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O= = ，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD,OA⊥AG′，

∴OD∥AG′,

∴∠DOG′=∠AG′O=30°，

即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°過程中,當∠OAG′=90°時，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°30°=150°.

綜上所述,當∠OAG′=90°時,α=30°或150°.

②如圖3,當旋轉到A. O、F′在一條直線上時,AF′的長最大，

∵正方形ABCD的邊長為1，

∴OA=OD=OC=OB= ，

∵OG=2OD，

∴OG′=OG= ，

∴OF′=2，

∴AF′=AO+OF′= +2，

∵∠COE′=45°，

∴此時α=315°

【解析】（1）延長ED交AG于點H，根據正方形的性質得出得出OA=OD，OG=OE，再證△AOG≌△DOE，得出∠AGO=∠DEO，根據等量代換證明結論。
（2）①根據題意和銳角正弦的概念以及特殊角的三角函數值得到∠AG′O=30°，分兩種情況求出α的度數。
②根據正方形的性質分別求出OA和OF的長，根據旋轉變換的性質求出AF′長的最大值和此時α的度數。