Question

12．已知如圖，拋物線經過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，2）三點，
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點M在拋物線的對稱軸上，當△AMC的周長最小時，求點M的坐標；
（3）點P是在第一象限內拋物線上的一動點，問點P在何處時△BCP的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得MA與MB的關系，根據兩點之間線段最短，可得答案；
（3）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PE的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）；
由拋物線經過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，2），得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
   解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2；
（2）如圖1，
連接AC，作拋物線的對稱軸；
∵點B是點A關于拋物線對稱軸的對稱點，
∴連接BC，與拋物線對稱軸交點M，此時MA+MC=BC最短，
即△AMC的周長最小，
設直線BC的解析式為：y=kx+b
由直線BC經過點B（3，0）、C（0，2）得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x+2，
又∵拋物線的對稱軸為：x=1
∴當x=1，y=-$\frac{2}{3}$+2=$\frac{4}{3}$，
即點M的坐標為（1，$\frac{4}{3}$）；

（3）如圖2，
作PD⊥x軸，垂足為D，與BC交點E；連接BC、PC、PB；
設點P的坐標為（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2），則點E的坐標為（x，-$\frac{2}{3}$x+2）．
PE=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2-（-$\frac{2}{3}$x+2）=-$\frac{2}{3}$x²+2x；
∵S_△PCE=$\frac{1}{2}$PE•OD；S_△PBE=$\frac{1}{2}$PE•BD；
∴S_△BCP=$\frac{1}{2}$PE•（OD+BD）=$\frac{1}{2}$PE•OB=$\frac{1}{2}×$3×（-$\frac{2}{3}$x²+2x）=-x²+3x．
又∵-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$
∴當x=$\frac{3}{2}$時，△BCP的面積最大，最大面積為$\frac{9}{4}$，
x=$\frac{3}{2}$，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2=$\frac{5}{2}$，
點P的坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用兩點之間線段最短得出M點坐標是解題關鍵，利用面積的和差得出二次函數是解（3）的關鍵．