Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(點A、B分別在直線CD的左右兩側)，射線CD交邊AB于點E，點G是Rt△ABC的重心，射線CG交邊AB于點F，AD=x，CE=y.

(1)求證：∠DAB=∠DCF.

(2)當點E在邊CD上時，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍.

(3)如果△CDG是以CG為腰的等腰三角形，試求AD的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)AD=1或.

【解析】

（1）首先根據點G是Rt△ABC的重心，得出CF是Rt△ABC的中線.，又由AC=BC，∠ACB=90°，得出CF⊥AB，即∠AFC=90°，然后等量轉換即可得出∠DAB=∠DCF；

（2）首先判定△CAD≌△BCH，得出BH = CD，CH = AD，又根據∠ADC=∠BHC=90°，得出AD∥BH，進而得出，列出等式，即可得出y關于x的函數關系式；

（3）分兩種情況進行求解：①當GC=GD時，根據直角三角形斜邊中線定理得出MD=MC，進而得出MG⊥CD，且直線MG經過點B，那么BH與MG共線，即可得出AD；②當CG=CD時，CG=2，點G為△ABC的重心，然后運用勾股定理即可得出AD.

(1)證明：∵點G是Rt△ABC的重心，

∴CF是Rt△ABC的中線.

又∵在Rt△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CF⊥AB，即∠AFC=90°.

∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF，且∠ADE=∠EFC=90°，

∴∠DAB=∠DCF.

(2)解：如圖，過點B作BH⊥CD于點H.

∴△CAD≌△BCH（ASA）.

∴BH = CD = 2，CH = AD = x，DH = 2-x.

∵∠ADC=∠BHC=90°

∴AD∥BH.

∴.

，，.

.

(3)解：當GC=GD時，如圖1，

取AC的中點M，聯結MD.那么MD=MC，

聯結MG，MG⊥CD，且直線MG經過點B.那么BH與MG共線.

又CH=AD，那么AD=CH=.

當CG=CD時，如圖2，即CG=2，點G為△ABC的重心，

，AB=2CF=6，，

.

綜上所述，AD=1或.