Question

【題目】已知函數y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的圖象與x軸有兩個公共點.
（1）求m的取值范圍，并寫出當m取范圍內最大整數時函數的解析式；
（2）題（1）中求得的函數記為C1 ，
①當n≤x≤﹣1時，y的取值范圍是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函數C2：y=m（x﹣h）2+k的圖象由函數C1的圖象平移得到，其頂點P落在以原點為圓心，半徑為 的圓內或圓上，設函數C1的圖象頂點為M，求點P與點M距離最大時函數C2的解析式.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數圖象與x軸有兩個交點，

∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，

解得：m＜ 且m≠0.

∵m為符合條件的最大整數，

∴m=2.

∴函數的解析式為y=2x2+x.

（2）

解：①拋物線的對稱軸為x=﹣ =﹣ .

∵n≤x≤﹣1＜﹣ ，a=2＞0，

∴當n≤x≤﹣1時，y隨x的增大而減小.

∴當x=n時，y=﹣3n.

∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去）.

∴n的值為﹣2.

②∵y=2x2+x=2（x+ ）2﹣ ，

∴M（﹣ ，﹣ ）.

如圖所示：

當點P在OM與⊙O的交點處時，PM有最大值.

設直線OM的解析式為y=kx，將點M的坐標代入得：﹣ k=﹣ ，解得：k= .

∴OM的解析式為y= x.

設點P的坐標為（x， x）.

由兩點間的距離公式可知：OP= =5，

解得：x=2或x=﹣2（舍去）.

∴點P的坐標為（2，1）.

∴當點P與點M距離最大時函數C2的解析式為y=2（x﹣2）2+1.

【解析】（1）函數圖形與x軸有兩個公共點，則該函數為二次函數且△＞0，故此可得到關于m的不等式組，從而可求得m的取值范圍；（2）先求得拋物線的對稱軸，當n≤x≤﹣1時，函數圖象位于對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，當當x=n時，y有最大值﹣3n，然后將x=n，y=﹣3n代入求解即可；（3）先求得點M的坐標，然后再求得當MP經過圓心時，PM有最大值，故此可求得點P的坐標，從而可得到函數C2的解析式.
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．