Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣3x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=x2+bx+c經過A，C兩點，且與x軸交于另一點B（點B在點A右側）．

（1）求拋物線的解析式及點B坐標；
（2）若點M是線段BC上一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F，交拋物線于點E．求ME長的最大值；
（3）試探究當ME取最大值時，在x軸下方拋物線上是否存在點P，使以M，F，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，﹣3x﹣3=0，x=﹣1

∴A（﹣1，0）

當x=0時，y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴

∴ ，

拋物線的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3

∴B（3，0）

（2）

解：由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直線BC的解析式是：y=x﹣3，

設M（x，x﹣3）（0≤x≤3），則E（x，x2﹣2x﹣3）

∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ；

∴當x= 時，ME的最大值為

（3）

解：答：不存在．

由（2）知ME取最大值時ME= ，E（ ，﹣ ），M（ ，﹣ ）

∴MF= ，BF=OB﹣OF= ．

設在拋物線x軸下方存在點P，使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形，

則BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，﹣ ）或P2（3，﹣ ）

當P1（0，﹣ ）時，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣

∴P1不在拋物線上．

當P2（3，﹣ ）時，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣

∴P2不在拋物線上．

綜上所述：在x軸下方拋物線上不存在點P，使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形

【解析】（1）先根據直線的解析式求出A、C兩點的坐標，然后將A、C的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．進而可根據拋物線的解析式求出B點的坐標．（2）ME的長實際是直線BC的函數值與拋物線的函數值的差，據此可得出一個關于ME的長和F點橫坐標的函數關系式，可根據函數的性質來求出ME的最大值．（3）根據（2）的結果可確定出F，M的坐標，要使以M，F，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，必須滿足的條件是MP∥=BF，那么只需將M點的坐標向左或向右平移BF長個單位即可得出P點的坐標，然后將得出的P點坐標代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的P點．