Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A，B兩點，交x軸于D，C兩點，連接，，已知，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為y軸右側拋物線上一動點，連接，過點P作交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為項點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）設E為線段上一點（不含端點），連接，一動點M從點D出發，沿線段以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到A后停止，當點E的坐標是多少時，點M在整個運動中用時最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且點P的坐標為（11，36）或（，）或（，）；（3）當點E的坐標為（2，1）時，點M在整個運動中用時最少．

【解析】

（1）把A、C兩點代入拋物線解析式，即可得到關于m、n的方程組，解方程組即可求出m、n的值，進而可得結果；

（2）先求出直線AB與拋物線的交點B的坐標，再利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，從而∠ACB＝90°；過點P作PG⊥y軸于G，設點P的橫坐標為x，再分點G在點A的下方和點G在點A的上方，分別利用相似三角形的性質用含x的代數式表示出點P的坐標，然后代入拋物線的解析式即可求得x的值，問題即得解決；

（3）如圖3，過A作射線AF∥x軸，過D作射線DF∥y軸，DF與AC交于點E，DF與AF交于點F，易求得點M在整個運動中的用時為：t＝＝DE+EF=DF，此時點M在整個運動中的用時最少，然后求出點D坐標后，把D的橫坐標代入直線AC解析式即可求出結果.

解：（1）把，代入拋物線的解析式，得；，解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）存在點P，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似．

聯立，解得：或，∴點B的坐標為（4，1）．

∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），

∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，

∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB＝90°，且tan∠BAC＝；

過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA＝90°．

設點P的橫坐標為x，由P在y軸右側可得x＞0，則PG＝x．

∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．

若點G在點A的下方，

①如圖2①，當∠PAQ＝∠CAB時，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，∴，

∴AG＝3PG＝3x，則P（x，3﹣3x），

把P（x，3﹣3x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）；

②如圖2②，當∠PAQ＝∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG＝PG＝x，則P（x，3﹣x），

把P（x，3﹣x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝，

∴P（，）；

若點G在點A的上方，

①當∠PAQ＝∠CAB時，則△PAQ∽△CAB，

∵△PGA∽△BCA，∴，

∴AG＝3PG＝3x，則P（x，3+3x），

把P（x，3+3x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝11；

∴點P的坐標為（11，36）．

②當∠PAQ＝∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG＝PG＝x，則P（x，3+x），

把P（x，3+x）代入，得，

解得：x1＝0（舍去），x2＝，

∴P（，）；

綜上所述：滿足條件的點P的坐標為（11，36）或（，）或（，）；

（3）如圖3，過A作射線AF∥x軸，過D作射線DF∥y軸，DF與AC交于點E，DF與AF交于點F．

∵A（0，3），C（3，0），∴lAC：y＝﹣x+3，

∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，

∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°，

∴EF＝AEsin45°＝，

∴點M在整個運動中的用時為：t＝＝DE+EF=DF，即當AF⊥DF時，DE+EF取得最小值DF，此時點M在整個運動中的用時最少，

∵拋物線的解析式為，令y=0，則，解得：，

∴D點坐標為（2，0），則E點橫坐標為2，將x＝2代入lAC：y＝﹣x+3，得y＝1，所以E（2，1）．

即當點E的坐標為（2，1）時，點M在整個運動中用時最少．