Question

有一列數a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，…，第1個數a₁=0，第2個數a₂=1，且從第2個數起，每一個數都等于它的前后兩個數之和，即a₂=a₁+a₃，a₃=a₂+a₄，a₄=a₃+a₅，a₅=a₄+a₆，…．
據此可得，a₃=a₂-a₁=1-0=1
a₄=a₃-a₂=1-1=0
a₅=a₄-a₃=0-1=-1
a₆=a₅-a₄=-1-0=-1
…
請根據該列數的構成規律計算：
（1）a₇=

0

，a₈=

1

；
（2）a₁₂=

-1

，a₂₀₁₂=

1

；
（3）計算這列數的前2012個數的和a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+…+a₂₀₁₂．

Answer 1

分析：（1）根據a₁=0，a₂=1，再根據a₂=a₁+a₃，a₃=a₂+a₄，a₄=a₃+a₅，a₅=a₄+a₆，…，即可求出a₇、a₈的值．
（2）從（1）中找出規律，6個數一個循環，根據這規律再把所要求的數代入即可求出答案；
（3）根據（1）得出的規律，6個數相加得0，即可求出答案．

解答：解：（1）∵a₃=a₂-a₁=1-0=1
a₄=a₃-a₂=1-1=0
a₅=a₄-a₃=0-1=-1
a₆=a₅-a₄=-1-0=-1
∴a₇=a₆-a₅=-1+1=0，
∴a₈=a₇-a₆=0+1=1；
（2）12÷6=2，
∴a₁₂=-1，
∴2012÷6=335…2，
∴a₂₀₁₂=1； 
 （3）根據（1）中6個數相加等于0，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+…+a₂₀₁₂=0+0+…+0+1=1．
故答案為：0，1，-1，1．

點評：此題考查了數字的變化類；解題的關鍵是通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題．