Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動點(diǎn)，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時(shí)，在線段BE上找一點(diǎn)G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值；

(2)如圖2，點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)K為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、M、N、K為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或或或或．

【解析】

（1）△PDF的面積S＝×PG×（xF﹣xD）＝×（+x﹣）×2＝﹣x2﹣x+，當(dāng)x＝﹣時(shí)，S最大，即點(diǎn)P（﹣，）；GH＝GE，故PG﹣EG＝PG﹣HG＝PH為最小值，即點(diǎn)G為所求，即可求解；

（2）分AM是正方形的邊、對角線兩種情況，每個(gè)情況分四個(gè)象限逐次求解即可．

解：（1）拋物線①，

拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為：（﹣4，0）、（1，0）、（0，2），則點(diǎn)D（﹣2，1），

函數(shù)的對稱軸為x＝﹣，

將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線BD的表達(dá)式為：y＝﹣x+，

過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EF于點(diǎn)G，

設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)G（x，﹣x+），

△PDF的面積S＝×PG×（xF﹣xD）＝×（+x﹣）×2＝﹣x2﹣x+

當(dāng)x＝﹣時(shí)，S最大，即點(diǎn)P（﹣，）；

過點(diǎn)E作x軸的平行線交PG于點(diǎn)H，

直線BD的表達(dá)式為：y＝﹣x+②，

則tan∠EBA＝＝tan∠HEG，

GH＝GE，故PG﹣EG＝PG﹣HG＝PH為最小值，即點(diǎn)G為所求，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣，故點(diǎn)E（﹣，），

則PG﹣EG的最小值PH：﹣＝；

（2）①當(dāng)AM是正方形的邊時(shí)，

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)（N在下方），如圖2，

當(dāng)點(diǎn)M在第二象限時(shí)，

過點(diǎn)A作y軸的平行線GH，過點(diǎn)M作MG⊥GH與點(diǎn)G，過點(diǎn)N作HN⊥GH于點(diǎn)H，

∵∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，∴∠HAN＝∠GMA，

∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，∴△AGM≌△NHA（AAS），

∴GA＝NH＝4﹣＝，AH＝GM，

即=，解得：x＝，

當(dāng)x＝時(shí)，則GM＝x﹣（﹣4）＝，

點(diǎn)yN＝﹣AH＝﹣GM＝，

故點(diǎn)N（﹣，）；

當(dāng)x＝時(shí)，同理可得：點(diǎn)N（﹣，﹣）；

當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，

同理可得：點(diǎn)N；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，

如圖3，M在第一象限時(shí)，

過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，

設(shè)AH＝b，MH＝a，

同理可得：△AHM≌△MGN（AAS），

則點(diǎn)M（﹣4+b，b﹣），即a＝b﹣，

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入①式并解得：b＝，a＝（a、b均舍去負(fù)值），

yN＝a+b＝，

故點(diǎn)N（﹣，），

同理當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，點(diǎn)N（﹣，-）；

②當(dāng)AM是正方形的對角線時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，

過點(diǎn)M作MG垂直于函數(shù)對稱軸于點(diǎn)G，設(shè)函數(shù)對稱軸與x軸交于點(diǎn)H，

同理可得：△AHN≌△NGM（AAS），

設(shè)點(diǎn)N（﹣，m），則點(diǎn)M（﹣﹣m，+m），

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入①式并解得：m＝或﹣（舍去），

故點(diǎn)N（﹣，）；

當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，

同理可得：點(diǎn)N（﹣，﹣）．

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：或或或或或或．