Question

9．如圖1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE，AF分別交射線CB、DC于E、F點，交直線BD于M、N，

（1）當E、F在邊BC、CD上時，求證：△AMN∽△DFN；
（2）在（1）的條件下，求證：AF：AM=$\sqrt{2}$；
（3）如圖2，當E、F在邊CB、DC的延長線上時，探求AE與AN的數量關系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠MAN=∠FDN=45°，∠ANM=∠DNF即可解決問題．
（2）如圖1中，連接AC，只要證明△CAF∽△BAM，可得$\frac{AF}{AM}$=$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{2}$，即可證明AF=$\sqrt{2}$AM．
（3）結論：AE=$\sqrt{2}$AN．連接AC，只要證明△DAN∽△CAE，可得$\frac{AE}{AN}$=$\frac{AC}{AD}$=$\sqrt{2}$，即可證明AE=$\sqrt{2}$AN．

解答 （1）證明：如圖1中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠ADB=∠FDN=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠FDN，∵∠ANM=∠DNF，
∴△AMN∽△DFN．

（2）證明：如圖1中，連接AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABM=∠ACF=∠BAC=45°，AC=$\sqrt{2}$AB，
∵∠BAM+∠MAN=∠MAN+∠FAC=45°，
∴∠BAM=∠CAF，
∴△CAF∽△BAM，
∴$\frac{AF}{AM}$=$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{2}$，
∴AF=$\sqrt{2}$AM．

（3）解：結論：AE=$\sqrt{2}$AN．理由如下，
如圖2中，連接AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ACB=∠DAC=45°，AC=$\sqrt{2}$AD，
∵∠MAN=∠DAC=45°，
∴∠EAC=∠DAN，
∴△DAN∽△CAE，
∴$\frac{AE}{AN}$=$\frac{AC}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$AN．

點評 本題考查相似三角形綜合題、正方形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．