Question

已知二次函數的頂點C的橫坐標為1，一次函數y=kx+2的圖象與二次函數的圖象交于A、B兩點，且A點在y軸上，以C為圓心，CA為半徑的⊙C與x軸相切，
（1）求二次函數的解析式；
（2）若B點的橫坐標為3，過拋物線頂點且平行于x軸的直線為l，判斷以AB為直徑的圓與直線l的位置關系；
（3）在滿足（2）的條件下，把二次函數的圖象向右平移7個單位，向下平移t個單位（t＞2）的圖象與x軸交于E、F兩點，當t為何值時，過B、E、F三點的圓的面積最小？

Answer 1

（1）∵一次函數y=kx+2的圖象與二次函數的圖象交于y軸的A點，
∴A（0，2）；
∵以CA為半徑的⊙C與x軸相切，
∴點C在x軸上方，可設C（1，y），則有：
y²=（1-0）²+（y-2）²，解得 y=

5

4

即：頂點C（1，

5

4

）；
設二次函數的解析式為：y=a（x-1）²+

5

4

，代入A（0，2），有：
a（0-1）²+

5

4

=2，解得 a=

3

4

∴二次函數的解析式：y=

3

4

（x-1）²+

5

4

=

3

4

x²-

3

2

x+2．

（2）當x=3時，y=

3

4

（x-1）²+

5

4

=

3

4

×4+

5

4

=

17

4

，即 B（3，

17

4

）；
由（1）知，A（0，2），所以 AB的中點（

3

2

，

25

8

），AB=

(3-0)2+( 17 4 -2)2

=

15

4

；
過點C且平行于x軸的直線l：y=

5

4

，所以以AB為直徑的圓心到直線l的距離為：

25

8

-

5

4

=

15

8

=

1

2

AB；
因此以AB為直徑的圓與直線l相切．

（3）二次函數平移后的解析式為y=

3

4

（x-8）²+

5

4

-t，
令y=0，即

3

4

（x-8）²+

5

4

-t=0，解得：x=8±

3

3

4t-5

；
假設E（8-

3

3

4t-5

，0）、F（8+

3

3

4t-5

，0），EF的中垂線為x=8；
過B、E、F三點的圓心在x=8上，若過B、E、F三點的圓的面積最小，只需點B到直線x=8的距離最小，即最小值為5；
過B作直線x=8的垂線，垂足P即為圓心，半徑r=5；
則PE=5，EF=

2 3

3

4t-5

，ES=

1

2

EF=

3

3

4t-5

；
由PS²+ES²=PE²，得：（

17

4

）²+

1

3

（4t-5）=5²，
解得：t=

413

64

；
即：當t=

413

64

時，過B、E、F三點的圓的面積最小．