Question

6．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結論：
①∠EBG=45°
②△DEF∽△ABG
③S_△ABG=32S_△FGH
④AG+DF=FG
其中正確的個數為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由折疊性質得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，則在Rt△ABF中利用勾股定理可計算出AF=8，所以DF=AD-AF=2，設EF=x，則CE=x，DE=CD-CE=6-x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6-x）²+2²=x²，解得x=$\frac{10}{3}$，即ED=$\frac{8}{3}$；再利用折疊性質得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可對①進行判斷；設AG=y，則GH=y，GF=8-y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y²+4²=（8-y）²，解得y=3，則AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和 $\frac{AB}{DE}$≠$\frac{AG}{DF}$，可判斷△ABG與△DEF不相似，則可對②進行判斷；根據三角形面積公式可對③進行判斷；利用AG=3，GF=5，DF=2可對④進行判斷．

解答 解：∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，
∴AF=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
設EF=x，則CE=x，DE=CD-CE=6-x，
在Rt△DEF中，∵DE²+DF²=EF²，
∴（6-x）²+2²=x²，解得x=$\frac{10}{3}$，
∴ED=$\frac{8}{3}$，
∵△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，
∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，所以①正確；
HF=BF-BH=10-6=4，
設AG=y，則GH=y，GF=8-y，
在Rt△HGF中，∵GH²+HF²=GF²，
∴y²+4²=（8-y）²，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D，$\frac{AB}{DE}$=$\frac{6}{\frac{8}{3}}$=$\frac{9}{4}$，$\frac{AG}{DF}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{DE}$≠$\frac{AG}{DF}$，
∴△ABG與△DEF不相似，所以②錯誤；
∵S_△ABG=$\frac{1}{2}$•6•3=9，S△_FGH=$\frac{1}{2}$•GH•HF=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_△ABG=$\frac{3}{2}$S_△FGH，所以③錯誤；
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以④正確．
∴①④正確．
故選B．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟練掌握折疊和矩形的性質、相似三角形的判定方法；會運用勾股定理計算線段的長．