Question

【題目】如圖，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分別為D、E．(這幾何模型具備“一線三直角”）如下圖：

(1)①請你證明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的長;

（2）遷移：如圖：在等腰Rt△ABC中，且∠C=90°，CD=2，BD=3，D、E分別是邊BC，AC上的點，將DE繞點D順時針旋轉90°，點E剛好落在邊AB上的點F處，則CE=________。（不要求寫過程）

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②DE=8；（2）CE=1.

【解析】

（1）如圖1，根據垂直的定義和同角的余角相等得到∠E=∠D=90°，∠1=∠2，則結合已知條件AC=BC由AAS證得：△ACE≌△CBD；②如圖2，同（1），證得△ACE≌△CBD，則根據全等三角形的對應邊相等推知：CE=BD=4，AE=CD=2，故DE=CE﹣CD=4﹣2=2．(2) 過F作FM⊥BC于M，求出BM=MF，求出∠C=∠FMD，∠CED=∠MDF，證△CED≌△MDF，推出DM=CE，CD=FM=2即可．

（1）證明：如圖1，∵BD⊥DE，AE⊥DE，

∴∠E=∠D=90°．

又∵∠ACB=90°，

∴∠1=∠2，

∴在△ACE與△CBD中，，

∴△ACE≌△CBD（AAS）；

②解：如圖2，同（1），證得△ACE≌△CBD，

∴CE=BD=5，AE=CD=3，

∴DE=CE+CD=5+3=8．

(2)過F作FM⊥BC于M，

則∠FMB=∠FMD=90°，

∵∠C=90，AC=BC，

∴∠B=∠A=45°，

∴∠MFB=∠B=45°，

∴BM=MF，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF=∠FMD=∠C=90°，

∴∠CED+∠CDE=90,∠CDE+∠FDM=90°，

∴∠CED=∠FDM，

在△CED和△MDF中，

，

∴△CED≌△MDF(AAS)，

∵CD=2，BD=3，

∴DM=CE，CD=FM=2=BM，

∴CE=DM=32=1，

故答案為：1.