Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為BC上一點，以AD為腰作等腰△ADE，AD=AE，∠BAC=∠DAE，連接CE．

（1）求證：BD=CE；
（2）已知BC=8，∠BAC=∠DAE=30°，若△DCE的面積為1，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠EAC，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

（2）

解: 過D作DF⊥EC交EC的延長線于F，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠B，

∵∠BAC=30°，

∴∠B+∠ACB=150°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，

∴∠DCF=30°，

∴DF= CD= （BC﹣BD）= （8﹣BD），

∵CE=BD，

∴DF=4﹣ CE，

∵△DCE的面積為1，

∴ DFCE= CFBD= （8﹣BD）BD=1，

解得：BD=4﹣ ，BD=4+ （不合題意，舍去）．

【解析】（1）易證∠BAD=∠EAC，即可證明△ABD≌△ACE，即可得到結論；（2）過D作DF⊥EC交EC的延長線于F，由△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠B，根據∠BAC=30°，于是得到∠B+∠ACB=150°，等量代換得到∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，由鄰補角的性質得到∠DCF=30°，根據直角三角形的性質得到DF= CD= （BC﹣BD）= （8﹣BD），根據△DCE的面積為1，列方程即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．