Question

【題目】如圖，已知矩形紙片BDEF和直角三角板BCA，點A在EF上，AC＝DE＝，FE＝3，∠C＝90°，∠CBA＝30°.

(1)寫出三種不同類型的結論．

(2)將直角三角板繞點B旋轉，在旋轉過程中，

①求點A與點E的最短距離；

②若將直角三角板繞點B從①中位置開始順時針旋轉α度(0≤α≤360)，使∠BAE＝90°，求α的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析;(2)②2;②60°和300°.

【解析】

（1）在Rt△ABC中，由∠C=90°，AC=可以求出∠BAC，AB、BC，通過AB=2BF得∠FAB=30°，進而得到AG=BG；

（2）①如圖，當A、B、E共線時，AE最小，求出BE長即可得；

②分兩種情況畫出圖形，求出∠EBA′和∠EBA″即可.

（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC＝，∠CBA＝30°，

∴AB=2AC=2，BC==3，

∠BAC=90°-∠ABC=60°，

∵四邊形BDEF是矩形，

∴BF=ED=AC=，∠F=90°，

∴AB=2BF，∠FAB=30°，

∴∠GBA=∠GAB，

∴GB=GA，

三個不同類型的結論為：AB=2，∠BAC=90°=60°，GB=GA（答案不唯一，只要合理即可）；

(2)①如圖，當點B，A，E三點共線時，AE最短，連接BE，

∵四邊形BDEF是矩形，

∴∠D=90°，BD=EF=3，BF=DE=，

∴BE===4，

∴AE=BE-AB=4－2=2；

②在圖1中，∵∠BA′E=90°，

∴cos∠EBA′=,

∴∠EBA′=60°，

同理，在圖2中，∠A″BE=60°，

∴旋轉角α=60°或300°.