Question

（2013•盤錦二模）某公司經銷某品牌運動鞋，年銷售量為10萬雙，每雙鞋按250元銷售，可獲利25%，設每雙鞋的成本價為a元．
（1）試求a的值；
（2）為了擴大銷售量，公司決定拿出一定量的資金做廣告，根據市場調查，若每年投入廣告費為x（萬元）時，產品的年銷售量將是原來年銷售量的y倍，且y與x之間的關系如圖所示，可近似看作是拋物線的一部分．請根據圖象提供的信息，求出y與x之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下求年利潤S （萬元）與廣告費x（萬元）之間的函數關系式，并請回答廣告費x（萬元）在什么范圍內，公司獲得的年利潤S（萬元）隨廣告費的增大而增多？（注：年利潤S=年銷售總額-成本費-廣告費）

Answer 1

分析：（1）根據成本加上利潤等于銷售價，可以求出每雙鞋的成本價．
（2）根據拋物線上的三個點（0，1），（2，1.36），（4，1.64），用待定系數法求出拋物線的解析式，得到y與x之間的函數關系式．
（3）根據年利潤等于年銷售總額減去成本減去廣告費，可以得到S關于x的函數，利用二次函數的性質求出S隨x增大而增大的x的取值范圍．

解答：解：（1）依題意有：a（1+25%）=250，
解得：a=200；

（2）根據圖形得到三個點（0，1），（2，1.36），（4，1.64）
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c
用待定系數法有：

c=1   4a+2b+c=1.36   16a+4b+c=1.64

解得：

a=- 1 100   b= 1 5   c=1

∴y=-

1

100

x²+

1

5

x+1．

（3）S=10y×（250-200）-x
=-5x²+99x+500，
∵-5＜0，對稱軸為x=-

b

2a

=-

99

2×(-5)

=9.9，
∴當0＜x＜9.9萬元時，S隨著x的增大而增大．

點評：本題考查的是二次的應用，（1）根據成本，利潤與銷售價的關系求出成本．（2）用待定系數法求出拋物線的解析式．（3）利用利潤減去成本減去廣告費求出S關于x的二次函數，然后利用二次函數的性質求出S隨x增大的范圍．