Question

（2013•盤錦二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點D、T是圓上的兩點，且AT平分∠BAD，過點T作AD延長線的垂線PQ，垂足為C．若⊙O的半徑為2，AT=2

3

，則圖中陰影部分的面積是

3 3

2

-

2

3

π

．

Answer 1

分析：首先利用圓周角定理以及勾股定理得出BT的長，進而得出△OTD是等邊三角形，得出AB∥DT，即可得出∠TDC的度數，進而得出DC，TC的長，即可得出S_弓形DT=S_扇形DOT-S_△DOT，陰影部分面積=S_△DCT-S_弓形DT求出即可．

解答：解：連接OD，OT，BT，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BTA=90°，
∵⊙O的半徑為2，AT=2

3

，
∴BT=2，
∴∠BAT=∠TAC=30°，
∴∠TOD=60°，
∵OT=OD，
∴△OTD是等邊三角形，
∴OT=OD=TD=2，∠ODT=60°，
同理可得出：∠AOD=60°，
∴AB∥DT，
∴∠TDC=60°，
∵∠DCT=90°，
∴∠DTC=30°，
∴CD=

1

2

DT=1，
∴TC=

3

，
可得△ODT的高為：2×sin60°=

3

，
S_弓形DT=S_扇形DOT-S_△DOT=

60π×22

360

-

1

2

×2×

3

=

2

3

π-

3

，
陰影部分面積=S_△DCT-S_弓形DT=

1

2

×1×

3

-（

2

3

π-

3

）=

3 3

2

-

2

3

π．
故答案為：

3 3

2

-

2

3

π．

點評：此題主要考查了扇形面積公式以及圓周角定理和等邊三角形的判定與性質以及勾股定理等知識，根據已知得出DC，TC的長是解題關鍵．