Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到，連接，下面有四個(gè)判斷：

①當(dāng)AP=BP時(shí)，∥CP；

②當(dāng)AP=BP時(shí)，

③當(dāng)CP⊥AB時(shí)，；

④長(zhǎng)度的最小值是1．

所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )

A.①③④B.①②C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及折疊的性質(zhì)，易得∠AB′P=∠CPB′，即可得AB′∥CP；②由PA=PB′=PC=PB，可得點(diǎn)A，B′，C，B在以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓上，然后由圓周角定理，求得答案；③當(dāng)CP⊥AB時(shí)，易證得△ACP∽△ABC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得AP的長(zhǎng)；④易得當(dāng)B′在線段AC上時(shí)，AB′的長(zhǎng)度有最小值，繼而求得答案．

∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，

∴AP=BP=CP，

由折疊的性質(zhì)可得：CP=B′P，∠CPB′=∠BPC=(180°∠APB′)，

∴AP=B′P，

∴∠AB′P=′B′AP=(180°∠APB′)，

∴∠AB′P=∠CPB′，

∴AB′∥CP，故①正確；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到，

∴PA=PB′=PC=PB，

∴點(diǎn)A，B′，C，B在以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓上，

∵∠B′PC與∠B′AC是所對(duì)的圓心角和圓周角，

∴∠B′PC=2∠B′AC，故②正確；

③當(dāng)CP⊥AB時(shí)，∠APC=∠ACB，

∵∠PAC=∠CAB，

∴△ACP∽△ABC，

∴，

∵在Rt△ABC中，AC==4，

∴AP==，故③錯(cuò)誤；

④由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：BC=CB′=3，

∴CB′長(zhǎng)度固定不變，

∵在 AB′C中，AB′＞ACB′C，

∴當(dāng)B′在線段AC上時(shí)， AB′有最小值，此時(shí)，AB′=ACB′C=43=1，故④正確．

故選C．