Question

【題目】已知，如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的頂點為M (1，9), 經過拋物線上的兩點A(－3，－7)和B (3, m)的直線交拋物線的對稱軸于點C．

(1)求拋物線的解析式和直線AB的解析式；

(2)在拋物線上是否存在點D，使得S△DAC＝2S△DCM?若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

(3)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：，直線的表達式為：；（2）點D或；（3）點或或，或，．

【解析】

（1）設二次函數表達式為：，利用頂點式即可求解；

（2）如圖，設點，點，表示出DH，MC長度，根據，列方程求解即可；

（3）分是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的頂點為M (1，9)，

∴設二次函數解析式為：，

∵A(－3，－7)在拋物線上，

∴，

解得：，

故拋物線的表達式為：，

∵B (3, m)在拋物線上，

所以

∴點B的坐標為，

設直線AB解析式為，

∴，

解得，

∴直線的表達式為：；

（2）存在，理由：

由二次函數得對稱軸為：，則點，

過點作軸的平行線交于點，

設點，點，

∴DH=，MC=9-1=8，

，

則，

解得：或5，

故點D或；

（3）設點、點，，

①當是平行四邊形的一條邊時，

點向左平移4個單位向下平移16個單位得到，

∴點向左平移4個單位向下平移16個單位得到點，

∴t=-16,

則，

解得：或，

故點或；

②當是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：，，

∵，

∴

解得：，

故點，或，；

綜上，點或或，或，．