Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（1）求拋物線的關系式和tan∠BAC的值；

（2）P為拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥OA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在AB上找一點M，使得OM+DM的值最小，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式：y=x2﹣x+3；tan∠BAC=；（2）點P坐標為：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）；（3）M點坐標（，）.

【解析】

（1）C兩點坐標代入二次函數的解析式，解方程組求出m、n的值即可得拋物線的解析式，利用解析式可求出D點坐標，根據拋物線和直線交于A、B兩點，解方程組可求得B點坐標，根據A、B、C三點坐標可知△ABC是直角三角形，進而可求得tanBAC 的值.（2）設P（a，a2﹣a+3），根據QA=∠ACB=90°可知相似比為3或，分別討論點P在點A的下方和下方兩種情況，根據相似比求出a的值即可的P點坐標；（3）由A、B兩點坐標求出直線AB的解析式，作點O關于直線AB的對稱點O'，可求出O′的坐標當O'，M，D三點共線時，OM+DM值最小，連接O'D交AB于M，根據D、O′坐標可求出O'D的析式，結合AB的解析式求出M的坐標即可.

（1）∵拋物線y=x2+mx+n過點A（0，3），點C（3，0）．

∴ ，

解得：n=3，m=﹣，

∴拋物線解析式：y=x2﹣x+3

當y=0時，0=x2﹣x+3

∴x1=3，x2=2

∴D點坐標（2，0）

∵拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點

∴，

解得： ， ；

∴B點坐標（4，1）

∵A（0，3），C（3，0），B（4，1）

∴AB=2，BC=，AC=3，

∵AB2=20，BC2=2，AC2=18

∴AB2=BC2+AC2．

∴∠ACB=90°

∴tan∠BAC==，

（2）設P（a，a2﹣a+3），

若點P在點A的下方，則PQ=a＞0

∵以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°

∴或，

若，則3AQ=PQ 即3[3﹣（a2﹣a+3）]=a

解得a=，a=0（不合題意舍去）

∴點P（，）

若，則AQ=3PQ 即[3﹣（a2﹣a+3）]=3a

解得：a=0（不合題意舍去），a=﹣1（不合題意舍去）

若點P在點A上方，且在y軸左側，則PQ=﹣a＞0

∵以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°

∴或

若，則3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣a

解得：a=0（不合題意舍去），a=（不合題意舍去）

若，則AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣3a

解得：a=0（不合題意舍去），a=﹣1

∴點P（﹣1，6）

若點P在點A上方，且在y軸右側，則PQ=a＞0

∵以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°

∴或

若，則3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=a

解得：a=0（不合題意舍去），a=，

∴點P（，）

若，則AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=3a

解得：a=0（不合題意舍去），a=11，

∴點P（11，36）

綜上所述：點P坐標為：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）

（3）∵A（0，3），B（4，1）

∴直線AB的解析式：y=﹣x+3

作點O關于直線AB的對稱點O'（/span>，）

∴OM+DM=O'M+DM

根據兩點之間，線段最短，則當O'，M，D三點共線時，OM+DM值最小．

連接O'D交AB于M

∵O'（，），D（2，0）

∴O'D解析式：y=12x﹣24

則

解得：

∴M點坐標（ ，）