Question

【題目】定義：若四邊形中某個頂點與其它三個頂點的距離相等，則這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂點叫做這個四邊形的等距點．

（1）判斷：一個內角為120°的菱形　　等距四邊形．（填“是”或“不是”）

（2）如圖2，在5×5的網格圖中有A、B兩點，請在答題卷給出的兩個網格圖上各找出C、D兩個格點，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為互不全等的“等距四邊形”，畫出相應的“等距四邊形”，并寫出該等距四邊形的端點均為非等距點的對角線長．端點均為非等距點的對角線長為　　 端點均為非等距點的對角線長為　　

（3）如圖1，已知△ABE與△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，連結AD，AC，BC，若四邊形ABCD是以A為等距點的等距四邊形，求∠BCD的度數．

Answer 1

【答案】（1）是;（2）見解析;（3）150°．

【解析】

（1）由菱形的性質和等邊三角形的判定與性質即可得出結論；

（2）根據題意畫出圖形，由勾股定理即可得出答案；

（3）由SAS證明△AEC≌△BED，得出AC=BD，由等距四邊形的定義得出AD=AB=AC，證出AD=AB=BD，△ABD是等邊三角形，得出∠DAB=60°，由SSS證明△AED≌△AEC，得出∠CAE=∠DAE=15°，求出∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=30°，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠ACB和∠ACD的度數，即可得出答案．

解：（1）一個內角為120°的菱形是等距四邊形；

故答案為：是；

（2）如圖2，圖3所示：

在圖2中，由勾股定理得：

在圖3中，由勾股定理得：

故答案為：

（3）解：連接BD．如圖1所示：

∵△ABE與△CDE都是等腰直角三角形，

∴DE=EC，AE=EB，

∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC，

即∠AEC=∠DEB，

在△AEC和△BED中， ，

∴△AEC≌△BED（SAS），

∴AC=BD，

∵四邊形ABCD是以A為等距點的等距四邊形，

∴AD=AB=AC，

∴AD=AB=BD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠DAB=60°，

∴∠DAE=∠DAB﹣∠EAB=60°﹣45°=15°，

在△AED和△AEC中，

∴△AED≌△AEC（SSS），

∴∠CAE=∠DAE=15°，

∴∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=30°，

∵AB=AC，AC=AD，

∴

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=75°+75°=150°．