Question

【題目】如圖，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以點 A 為圓心，任意長為半徑畫弧分別交 AB，AC 于點M 和 N，再分別以 M，N 為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點 P，連接 AP 并延長交 BC 于點D，則下列說法中：①AD 是∠BAC 的平分線；②點 D 在線段 AB 的垂直平分線上；③S△DAC：S△ABC=1：2,正確的序號是_____．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

①據作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；

②利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質可以證明點D在AB的垂直平分線上；

③利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比．

①根據作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．
故①正確；
②如圖，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，

∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，

∴△ABD為等腰三角形

∴點D在AB的垂直平分線上．
故②正確；
③∵如圖，在直角△ACD中，∠2＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD＋BD＝AD＋AD＝AD，

∴S△DAC＝ACCD＝ACAD，
∴S△ABC＝ACBC＝ACAD＝ACAD，
∴S△DAC：S△ABC＝ACAD：ACAD＝1：3．
故③錯誤．
故答案為：①②．