Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點點P不與A，B重合，分別連接PD，PC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把P叫四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把P叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點“．

解決問題

如圖，，試判斷點P是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由．

如圖，在四邊形ABCD中，A，B，C，D四點均在正方形網格網格中每個小正方形的邊長為的格點即每個小正方形的頂點上，試在圖中畫出四邊形ABCD的邊BC上的相似點，并寫出對應的相似三角形；

如圖，在四邊形ABCD中，，，，點P在邊BC上，若點P是四邊形ABCD的邊BC上的一個強相似點，求BP的長．

Answer 1

【答案】結論：點P是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，理由見解析；（2）畫出四邊形ABCD的邊BC上的相似點，見解析；∽，∽；．

【解析】

結論：點P是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，根據相似點的定義判斷即可．

分兩種情形分別求解即可．

取AD的中點O，作，垂足為則點P為所求，連接AP，證明點P是強相似點，求出AE即可解決問題．

：結論：點P是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，

理由：如圖中，

，

．

．

，

，

，

∽，

點P是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

如圖中，作，交邊BC于點，則點為所求，此時∽：

作點A關于直線BC的對稱點A’：連接DA’，交BC于點，

則點為所求，此時∽，

取AD的中點O，作，垂足為則點P為所求，連接AP，DP．

，，

，

作，則四邊形ABCE，ABPF，FPCE均為矩形，

，，

是的中位線，

，

．

，，

，

，

．

同理可證：，

，

∽∽，

點P是四邊形ABCD的邊BC上的一個強相似點，

在中，．

，

．