Question

某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距40千米的A，B兩地，分別有甲，乙兩個醫療站，如圖，在A地北偏東45°，B地北偏西60°方向上有一牧民區C．一天，甲醫療隊接到牧民區的求救電話，立刻設計了兩種救助方案．
方案I：從A地開車沿公路到離牧民區C最近的D處，再開車穿越草地沿DC方向到牧民區C．
方案II：從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區C．已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍．
（1）求牧民區到公路的最短距離CD；
（2）你認為甲醫療隊設計的兩種救助方案，哪一種方案比較合理？并說明理由．（結果精確到0.1，參考數據：

3

取1.73，

2

取1.41）

Answer 1

（1）設CD為x千米，由題意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，
∴AD=CD=x，
在Rt△BCD中，tan30°=

3

3

=

x

BD

，所以BD=

3

x
∵AD+DB=AB=40，∴x+

3

x=40
解得x=20

3

-20≈14.6
所以，牧民區到公路的最短距離CD為14.6千米；

（2）設汽車在草地上行駛的速度為v，則在公路上行駛的速度為3v，
在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∴AC=

2

CD，
方案I用的時間t₁=

AD

3v

+

CD

v

=

AD+3CD

3v

=

4CD

3v

方案II用的時間t₂=

AC

v

=

2 CD

v

（6分）
∴t₁-t₂=

4CD

3V

-

2 CD

V

=-

(3 2 -4)CD

3v

∵3

2

≈4.2，
∴3

2

-4＞0，
∴t₁-t₂＜0．
所以方案II用的時間多，方案I比較合理．