Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝2，點E是AB上一點，將正方形沿CE折疊，點B落在正方形內一點B'處，若△AB'D為等腰三角形，則BE的長度為_____．

Answer 1

【答案】4﹣2或．

【解析】

由四邊形ABCD是正方形，得到AB＝BC＝CD＝AD，因為△AB'D為等腰三角形，分三種情況：①AD＝B′D；②AB′＝B′D③AB′＝AD，分別進行討論即可得出答案．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

①當AD＝B′D時，如圖1，

由折疊的性質得，B′C＝BC，

∴B′D＝B′C＝CD，

∴△CDB′是等邊三角形，

∴∠B′DC＝60°，

∴∠ADB′＝30°，

過B′作B′G⊥AD于G，B′F⊥AB于F，

∴AF＝B′G＝=×2＝1，DG＝= ，

∴AG＝FB′＝2﹣，

∵BE＝B′E，EF＝1﹣BE，

∴（2﹣）2+（1﹣BE）2＝BE2，

∴BE＝4﹣2；

②當AB′＝B′D時，如圖2，

則B′在AD的垂直平分線上，

∴B′在BC的垂直平分線上，

∴BB′＝CB′，

由折疊的性質得，B′C＝BC，

∴△BB′C是等邊三角形，

∴∠BCE＝30°，

∴BE＝BC＝，

③當AB′＝AD時，則AB＝AB′，

∵EB＝EB′，CB＝CB′，

∴點E、C在BB′的垂直平分線上，

∴EC垂直平分BB′，

∴A與E重合，

∴B′與D重合，不符合題意，舍去．

綜上所述，BE的長為4﹣2或．

故答案為：4﹣2或．