Question

【題目】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，且DC=AE，AD與BE交于點(diǎn)P，連接PC.

(1)證明：ΔABE≌ΔCAD.

(2)若CE=CP，求證∠CPD=∠PBD.

(3)在(2)的條件下，證明：點(diǎn)D是BC的黃金分割點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）因?yàn)椤?/span>ABC是等邊三角形，所以AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD，即可證明ΔABE≌ΔCAD；

（2）設(shè)則由等邊對等角可得可得以及，故；

（3）可證可得，故由于可得，根據(jù)黃金分割點(diǎn)可證點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)；

證明：

(1) ∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，

在ΔABE與ΔCDA中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，

∴△AEB≌△CDA；

（2）由（1）知，

則，

設(shè)，

則，

∵，

∴，

∴，

又，

∴；

（3）在和中，

，，

∴，

∴，

∴，

又，

∴，

∴點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)；