Question

【題目】在△ABC中，將邊AB繞點A順時針旋轉60°得到線段AD，將邊AC繞點A逆時針旋轉120°得到線段AE，連接DE.

（1）、如圖①，當∠BAC=90°時，若△ABC的面積為5，則△ADE的面積為________；

（2）如圖②，CF、BG分別是△ABC和△ADE的高，若△ABC為任意三角形，△ABC與△ADE的面積是否相等，請說明理由；

（3）如圖③，連接BD、CE.若AB=4，AC=2，四邊形CEDB的面積為13，則△ABC的面積為________.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）相等，理由見解析；（3）

【解析】

（1）繼而得∠DAE=∠BAC=90°，可證得△ABC≌△ADE，則兩三角形面積相等；

（2）由∠BAD=60°，∠CAE=120°得∠DAE+∠CAB=180°，根據平角定義可得∠DAE +∠GAE=180°，可得∠FAC=∠GAE，然后證得 △ACF≌△AEG，繼而得CF=BG，根據等底等高的兩個三角形面積相等可求出結論；

（3）如圖，分別作出△ABD和△AEC的高AH，AF. 求得等邊三角形△ABD的面積為4和△AECDE的面積3， 則△ADE和△ABC的面積之和為6， 再證得 △ABC≌△ADE，從而證得△ADE和△ABC的面積都是3.

（1）根據旋轉的性質可得AC=AE，AB=AD，∠BAD=60°，∠CAE=120°，

∵∠BAC=90°

∴∠DAE=90°

∴∠BAC=∠DAE

∴△ABC≌△ADE，

∵△ABC的面積為5

∴△ADE的面積為5.

（2）解：相等，

理由如下：

由旋轉，得AC=AE，AB=AD，∠BAD=60°，∠CAE=120°，

∴∠BAD+∠CAE=180°，

∴∠DAE+∠CAB=180°，

∵∠DAE +∠GAE=180°，

∴∠FAC=∠GAE.

∵CF、BG分別是△ABC和△ADE的高，

∴∠AFC=∠AGE =90°，

∴△ACF≌△AEG，

∴CF=BG，

∴△ABC與△ADE的面積相等.

（3）如圖，分別作出△ABD和△AEC的高AH，AF.

∵AC=AE，∠BAD=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AH=，

∴S△ABD=,

同理可得S△AEC=3,

∴S△ADE+S△ABC=S四邊形CEDB- S△ABD-S△AEC=6

又△ABC≌△ADE，

∴S△ADE=3.