Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+1經過點（2，6），且與直線y=x+1相交于A，B兩點，點A在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P是直線AB上方該拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E，求線段PE的最大值；

（3）在（2）的條件，設PC與AB相交于點Q，當線段PC與BE相互平分時，請求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+1；（2）當x=2時，PE的最大值為4；（3）點Q的坐標為（，）或（，）．

【解析】

（1）利用直線解析式可求得B點坐標，再利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）設出P點坐標，則可表示出E點坐標，則可表示出PE的長，利用二次函數的性質可求得PE的最大值；

（3）由條件可知四邊形BCEP為平行四邊形，可得BC=PE，則可求得P點坐標，利用中點坐標可求得Q點坐標．

（1）∵BC⊥x軸，垂足為點C（4，0），且點B在直線y=x+1上，

∴點B的坐標為（4，3），

∴拋物線y=ax2+bx+1經過點（2，6）和點B（4，3），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+1；

（2）設動點P的坐標為（x，-x2+x+1），則點E的坐標為：（x，x+1），

∵PD⊥x軸于點D，且點P在x軸上，

∴PE=PD-ED=-x2+x+1-（x+1）=-x2+4x=-（x-2）2+4，

∴當x=2時，PE的最大值為4；

（3）∵PC與BE互相平分，

∴四邊形BCEP為平行四邊形，

∴PE=BC，

∴-x2+4x=3即x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∵點Q分別是PC，BE的中點，且點Q在直線y=x+1

∴①當x=1時，點Q的橫坐標為，點Q的坐標為（，），

②當x=3時，點Q的橫坐標為，點Q的坐標為（，），

綜上可知點Q的坐標為（，）或（，）．