Question

如圖，已知△ABC，∠B的平分線交邊AC于P，∠A的平分線交邊BC于Q，如果過點P、Q、C的圓也過△ABC的內心R，且PQ=1，則PR的長等于

 

．

Answer 1

分析：連接CR，并延長交AB于T，可求得∠PRQ=

1

2

（∠A+∠B）+∠C，由P、Q、C、R四點共圓，得

1

2

（∠A+∠B）+2∠C=180°，從而求得PR的值．

解答：解：連接CR，并延長交AB于T，
則∠PRQ=∠PRC+∠CRQ=∠BRT+∠ART=

1

2

∠B+

1

2

∠C+

1

2

∠A+

1

2

∠C=

1

2

（∠A+∠B）+∠C，
∵P、Q、C、R四點共圓，
∴

1

2

（∠A+∠B）+2∠C=180°，

1

2

（∠A+∠B+∠C）+

3

2

∠C=180°，
∴∠C=60°，從而∠PRQ=120°，
∵R是內心，∴PR=QR，∴PR=

3

3

．
故答案為

3

3

．

點評：本題考查了三角形的內切圓和圓內接四邊形的性質．