Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，AC⊥BC于點C，且點C在y的正半軸上，點A和點B分別在x的負半軸和正半軸，AC＝BC，AB＝8．

（1）求點C的坐標；

（2）點D從點C出發以1個單位/秒的速度向y的負半軸方向運動，同時點G從點B出發以1個單位/秒的速度向x軸的正方向運動，連接DG交直線BC于點F．設D、G兩點運動時間為t秒，△DOF的面積為s，請用t的式子表示s，并直接寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點F作FP⊥DF，過點C作x軸的平行線交FP于點P，連接AD，是否存在t，使△CPF的面積等于△AOD面積的2倍？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，4）；（2），（3）存在t，使△CPF的面積等于△AOD面積的2倍，t＝或t＝．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可求得OC的長度，即可求出C點坐標；

（2）證明△DHF≌△GBF，根據全等三角形對應邊相等可知點F是DG的中點，所以可證,分情況討論即可；

（3）先判斷△POI為等腰直角三角形，利用面積公式表示出△CPF和△AOD的面積，用2倍建立方程，解出即可．

解：（1）∵AC＝BC，AB＝8，

∴OB＝4，

∵AC⊥BC，AC＝BC，

∴∠OBC＝45°．

∵∠BOC＝90°，

∴OC＝OB＝4，

∵點C在y的正半軸上，

∴C（0，4）；

（2）過點D作DH∥x軸交直線BC于點H，

∵DH∥x軸，∠BOC＝90°，∠OBC＝45°．

∴∠HDF＝∠BGF，∠CDH＝∠BOC=90°, ∠OCB＝45°,

∴CD=DH，

∵D，G兩點速度相同，

∴CD＝DH＝BG，

在△DHF和△GBF中，

，

∴△DHF≌△GBF，

∴點F是DG的中點，

當0＜t＜4時，如圖1，

∵OD＝4﹣t，OG＝4+t，

，

當t=4時，D點與O點重合，此時S=0，

如圖2，當t＞4時，

∵OD＝t﹣4，OG＝4+t，

；

故 .

（3）如圖3，

連接PD、PG、PO，過點F作E⊥CP于點E，過點P作PI⊥PO交x軸于點I，

∴△POI為等腰直角三角形，且OB＝BI＝OC＝CP，

∴點P（4，4），CP＝4．

當0≤t＜4時，EF＝t+2，

S△CPF＝CP×EF＝×4×（t+2）＝t+4

S△AOD＝OA×OD＝×4×（4﹣t）＝8﹣2t

∴t+4＝2（8﹣2t），

解得t＝，

當t＞4時，EF＝t+2，

S△CPF＝CP×EF＝×4×（t+2）＝t+4

S△AOD＝OA×OD＝×4×（t﹣4）＝2t﹣8

∴t+4＝2（2t﹣8），

解得t＝．

∴存在t，使△CPF的面積等于△AOD面積的2倍，t＝或t＝．