Question

已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點．
（1）如圖1，若∠DAB=60°，則∠AFG=

 

；如圖2，若∠DAB=90°，則∠AFG=

 

；
（2）如圖3，若∠DAB=α，試探究∠AFG與α的數量關系，并給予證明；
（3）如果∠ACB為銳角，AB≠AC，∠BAC≠90°，點M在線段BC上運動，連接AM，以AM為一邊以點A為直角頂點，且在AM的右側作等腰直角△AMN，連接NC；試探究：若NC⊥BC（點C、M重合除外），則∠ACB等于多少度？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

Answer 1

分析：（1）、（2）結合圖3解決一般性問題：根據已知條件易證△ABE≌△ADC（SAS），得BE=CD，從而有BF=DG．連接AG，可證明△BAF≌△DAG，得∠GAF=∠DAB．根據等腰三角形性質及三角形內角和定理，已知∠DAB的度數，可求∠AFG的度數．
（3）依題意畫圖；延長CN于H，使NH=MC．構造出△ANH與△AMC全等，運用全等三角形性質，結合三角形內角和定理求解．

解答：（1）解：60°；45°…（2分）

（2）∠AFG=90°-

α

2

…（3分）
證明：連接AG．
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAC=∠BAE．
又AD=AB，AC=AE，
∴△DAC≌△BAE…（4分）
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE．
又G、F為中點，
∴DG=BF，
∴△DAG≌△BAF…（5分）
∴∠DAG=∠BAF．
∴∠GAF=∠DAB=α，
∴∠AFG=90°-

α

2

…（6分）

（3）解：如圖．
延長CN于H，使NH=MC，連接AH．
∵NC⊥BC，∠MAN=90°，
∴∠AMC+∠ANC=180°…（7分）
∵∠ANH+∠ANC=180°，
∴∠AMC=∠ANH…（8分）
在△AMC與△ANH中，

MC=NH ∠AMC=∠ANH AM=AN

．
∴△AMC≌△ANH（SAS），
∴AC=AH，∠MAC=∠NAH…（9分）
∴∠HAC=∠MAN=90°．
∴∠ACH=45°，
∴∠ACB=45°…（10分）

點評：此題考查全等三角形的判定與性質，綜合性強，難度大．