Question

27、已知△ABC，分別以BC、AC為邊向形外作正方形BDEC，正方形ACFG，過C點的直線MN垂直于AB于N，交EF于M，
（1）當∠ACB=90°時，試證明：①EF=AB；②M為EF的中點；

（2）當∠ACB為銳角或鈍角時，①EF與AB的數量關系為

當∠ACB為銳角時，EF＞AB，當∠ACB為鈍角時，EF＜AB

（分情況說明）；
②M還是EF的中點嗎？請說明理由．（選擇當∠ACB為銳角或鈍角時的一種情況來說明）

Answer 1

分析：（1）①由正方形的性質得CA=CF，CB=CE，∠ACB=∠FCE，由SAS可得△ECF≌△BCA，故有EF=AB；
②由∠BCN=∠MCF=∠CAN=∠MFC得MC=MF，同理得ME=MC，即得M為EF的中點．
（2）①由圖示可得，EF與AB不相等，當∠ACB為銳角時，EF＞AB，當∠ACB為鈍角時，EF＜AB．
②要證M為EF的中點，可通過作輔助線構造一個平行四邊形，轉而證明點M是平行四邊形對角線的中點．

解答：解：（1）①由題意得：CA=CF，CB=CE，∠ACB=∠FCE，
∴△ECF≌△BCA，∴EF=AB；

②∵∠CAN+∠CBN=90°，∠BCN+CBN=90°，
∴∠CAN=∠CBN，
又∵∠CBN=∠MCF，
∴∠MCF=∠CAN，
由①知△ECF≌△BCA，
∴∠CAN=∠MFC，故∠MCF=∠MFC，
∴MC=MF，同理得ME=MC，即得M為EF的中點．

（2）①當∠ACB為銳角時，EF＞AB，當∠ACB為鈍角時，EF＜AB．
②過F作FH∥CE交MN于H，
∵∠HCF+∠ACN=90°，∠CAN+∠ACN=90°∴∠HCF=∠CAN，
∵∠HFC+∠FCE=180°，∠ACB+∠FCE=180°，∴∠HFC=∠ACB，
又∵FC=CA，∴△HCF≌△BCA，
∴BC=HF=EC，
∴FH∥CE，且HF=EC，
∴四邊形CEHF是平行四邊形，
∴M為EF的中點．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．