Question

現有一副直角三角板，已知含45°角的直角三角板的斜邊恰與含30°角的直角三角板的較長直角邊完全重合（如圖①）．即△C´DA´的頂點A´、C´分別與△BAC的頂點A、C重合．現在讓△C´DA´固定不動，將△BAC通過變換使斜邊BC經過△C´DA´的直角頂點D．
（1）如圖②，將△BAC繞點C按順時針方向旋轉角度α（0°＜α＜180°），使BC邊經過點D，則α＝        °
（2）如圖③，將△BAC繞點A按逆時針方向旋轉，使BC邊經過點D．試說明：BC∥A´C´.
（3）如圖④，若將△BAC沿射線A´C´方向平移m個單位長度，使BC邊經過點D，已知AB＝，求m的值．

Answer 1

(1)15；（2）說明見解析；（3）．

試題分析：（1）根據α=∠A′C′A=∠DCA′-∠BCA，進而求出答案即可；
（2）根據旋轉的性質得出∠CAC′=∠BAH，進而得出∠CAC′=∠C，即可得出答案；
（3）根據銳角三角函數的關系求出AC，HC以及HC′的長，進而得出答案．
（1）如圖②，α=∠A′C′A=45°-30°=15°；
（2）如圖③，過點A作AH⊥BC于點H，

∵∠C=30°，
∴AH=AC，
∵AD=AC，
∴DH=AC，
∴AH=DH，
∴∠HAD=45°，
∴∠HAC′=∠HAD+∠DAC′=90°，
∴HA⊥AC′，
∴BC∥A′C′；
（3）如圖④，過點D作DH⊥AC，垂足為H，
∵AB=，
∴AC=A′C′=×=，
∴HC′=DH=，
∴，
所以m的值為：HC-HC′=．