Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點，，的坐標分別，，，以為頂點的拋物線過點．動點從點出發，以每秒個單位的速度沿線段向點勻速運動，過點作軸，交對角線于點．設點運動的時間為（秒）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若分的面積為的兩部分，求的值；

（3）若動點從出發的同時，點從出發，以每秒1個單位的速度沿線段向點勻速運動，點為線段上一點．若以，，，為頂點的四邊形為菱形，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值為或；（3）的值為或．

【解析】

（1）運用待定系數法求解；

（2）根據已知，證，，可得或；

（3）分兩種情況：當為菱形的對角線時：由點，的橫坐標均為，可得．求直線的表達式為，再求N的縱坐標，得，根據菱形性質得，可得．在中，得．同理，當為菱形的邊時：由菱形性質可得，．由于，所以．結合三角函數可得.

解：（1）因為，矩形的頂點，，的坐標分別，，，

所以A的坐標是（1,4），可設函數解析式為：

把代入可得，a=-1

所以，即．

（2）因為PE∥CD

所以可得．

由分的面積為的兩部分，可得

所以，解得．

所以，的值為=（秒）．

或，解得．

所以，的值為．

綜上所述，的值為或．

（3）當為菱形的對角線時：

由點，的橫坐標均為，可得

．

設直線AC的解析式為，把A,C的坐標分別代入可得

解得

所以直線的表達式為．

將點的橫坐標代入上式，得

．

即．

由菱形可得，．

可得．

在中，得．

解得，，t2=4（舍）．

當為菱形的邊時：

由菱形性質可得，．

由于，

所以．

因為．

由，得

．

解得，，

綜上所述，的值為或．