Question

【題目】如圖1，若拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上(點A與點B不重合），我們定義：這樣的兩條拋物L1，L2互為“友好”拋物線，可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有多條.

（1）如圖2，已知拋物線L3：y＝2x2－8x＋4與y軸交于點C，試求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的點D的坐標；

（2）請求出以點D為頂點的L3的友好拋物線L4的解析式，并指出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）若拋物y＝a1 (x－m) 2＋n的任意一條友好拋物線的解析式為y＝a2 (x－h) 2＋k，請寫出a1與a2的關系式，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點D坐標（4，4）；（2）L4的解析式y＝－2(x－4) 2＋4，當2≤x≤4時，拋物線L3與L4中y同時隨x增大而增大；（3）a1與a2的關系式為a1＋a2＝0或a1＝－a2，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）設x=0，求出y的值，即可得到C的坐標，把拋物線L3：y=2x2-8x+4配方即可得到拋物線的對稱軸，由此可求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標；

（2）由（1）可知點D的坐標為（4，4），再由條件以點D為頂點的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進而可求出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）根據：拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，可以列出兩個方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=0．可得a1=-a2．

試題解析：（1）∵拋物線L3:y=2x28x+4，

∴y=2(x2)24，

∴頂點為(2,4)，對稱軸為x=2，

設x=0，則y=4，

∴C(0,4)，

∴點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標為：(4,4)；

（2）∵以點D(4,4)為頂點的L3的友好拋物線L4還過點(2,4)，

L4的解析式y＝－2(x－4) 2＋4，

由圖象可知，當2≤x≤4時，拋物線L3與L4中y同時隨x增大而增大；

（3）a1與a2的關系式為a1＋a2＝0或a1＝－a2.

理由如下：

∵拋物線y＝a1 (x－m) 2＋n的一條“友好”拋物線的解析式為y＝a2 (x－h) 2＋k，

∴y＝a2 (x－h) 2＋k過點（m，n），且y＝a1 (x－m) 2＋n過點（h，k），

即

由①＋②得(a1＋a2) (h－m) 2＝0.

又“友好”拋物線的頂點不重合，

∴h≠m，

∴a1＋a2＝0或a1＝－a2.