Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2＋bx＋C經過A(0，3)，B(1，0)兩點，頂點為M.

(1)求b、C的值；

(2)將△OAB繞點B順時針旋轉90°后，點A落到點C的位置，該拋物線沿y軸上下平移后經過點C，求平移后所得拋物線的表達式；

(3)設(2)中平移所得的拋物線與y軸的交點為A1，頂點為M1，若點P在平移后的拋物線上，且滿足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)b=-4,c=3;(2) y＝x2－4x＋1；(3) P (，－)或(－1，6)．

【解析】

（1）直接將已知點的坐標代入到二次函數的解析式中求得未知系數的值即可；
（2）根據A、B兩點的坐標可以求得OA和OB的長，然后根據旋轉的性質求得點C的坐標，然后向下平移2個單位即可得到平移后的拋物線的解析式；
（3）設P點的坐標為（x0，x02-4x0+1），然后分0＜x0＜2時和x0＜0時兩種情況利用S△PMM1=3S△PAA1得到有關x0的方程求得x0即可確定點P的坐標即可．

解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋C經過A(0，3)，B(1，0)兩點，

∴，解得；

(2)由(1)知，拋物線的表達式為y＝x2－4x＋3.

∵A(0，3)，B(1，0)

∴OA＝3，OB＝1，

∴C點坐標為(4，1)，

當x＝4時，由y＝x2－4x＋3得y＝3，

則拋物線y＝x2－4x＋3經過點(4，3)，

∴將原拋物線沿y軸向下平移2個單位后過點C，

∴平移后的拋物線的表達式為y＝x2－4x＋1；

(3)∵點P在y＝x2－4x＋1上，可設P點的坐標為(x0，x02－4x0＋1)

將y＝x2－4x＋1配方得y＝(x－2)2－3，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，

∵S△PMM1＝|x0－2|·MM1，

S△PAA1＝ |x0|·AA1，

S△PMM1＝3S△PAA1，MM1＝AA1＝2，

∴x0<2，|x0－2|＝3|x0|.

分情況討論：

①當0<x0<2時，

則有2－x0＝3x0，

解得x0＝，則x02－4x0＋1＝－，

∴點P的坐標為(，－)；

②當x0<0時，

則有2－x0＝－3x0，解得x0＝－1，則x02－4x0＋1＝6，

∴點P的坐標為(－1，6)．

故滿足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍時，點P的坐標為(，－)或(－1，6)．