Question

【題目】綜合與探究

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+3與x軸交于A，B兩點（A在B左側），與y軸交于點C．點A坐標為（﹣1，0）．直線l為該拋物線的對稱軸，且交直線BC于點D．拋物線上有一動點P，且橫坐標為m（4＜m＜9），連接PD，過點P作PE⊥l于點E．

（1）求拋物線及直線BC的函數表達式．

（2）當△DEP與△BOC相似時，求m的值；

（3）如圖2，點M為直線BC上一動點，是否存在點P，使得以點A，C，P．M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出此時點P和點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－ x+3，y＝﹣x2+x+3；（2）m的值為 或8；（3）存在點P坐標為（，），點M坐標為（ ）

【解析】

（1）將點A坐標代入可求拋物線解析式，求出B、C坐標，待定系數法求出直線BC的解析式

（2）分類討論相似關系，當△DEP～△COB和當△DEP～ABOC時，找好邊角的對應關系，可求m的值．

（3）因為點P的坐標范圍要求，所以點P只存在一種情況，利用全等關系，解方程等量關系獲得點M和P點坐標．

（1）把點A（﹣1，0）代入y＝ax2+x+3中，得a＝﹣∴拋物線的函數表達式為，y＝﹣x2+x+3

當x＝0，得y＝3，∴點C的坐標為（0，3）

當y＝0時，得﹣y＝﹣x2+x+3＝0

解，得x1＝﹣1，x2＝9．∵點A在點B左側點B坐標為（9，0）

設直線BC的函數表達式為y＝kx+b，

把點B（9，0）和C（0，3）代入上式，

得 解得 ∴直線BC的函數表達式為y＝－x+3；

（2）在Rt△BOC中，OB＝9，OC＝3，∵PE⊥l于點E．∠PED＝∠BOC＝90°．

∵直線l為拋物線y＝﹣x2+x+3的對稱軸，

∴直線l為x＝﹣＝﹣÷[2×（﹣）]＝4

∴點D和E的橫坐標為4

把x＝4代入y＝-x+3中，得y＝-x4+3＝．

∴點D坐標為（4，）

∵點P是拋物線上的點，

∴設P（m，﹣m2+m+3），E（4，﹣m2+m+3）

∵4＜m＜9，且△DEP與△BOC相似

∴點E在點D上方，點P在點E右側．

∴DE＝﹣m2+m+3﹣＝﹣m2+m+，PE＝m﹣4

①當△DEP～ABOC時，＝，

即＝

解得m1＝，m2＝（舍）

②當△DEP～△COB時，＝，

即＝

解得m1＝8，m2＝﹣1（舍）

∴當△DEP與△BOC相似時，m的值為 或8；

（3）∵點P的橫坐標在4與9之間

∴A、C、P、M組成的平行四邊形只有一種情況，如圖

可證△PMN≌△ACO（AAS）

∴OA＝MN＝1，PN＝CO＝3

設點M（m，-m+3）

則P（m+1，-m+3+3）

將點P坐標代入解析式，可解得m＝

∴存在點P坐標為（，），點M坐標為（）.